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    （1）位置描述坐標系一旦建立，對于世界坐標系中的任意一點即可用任意一個31的位置矢量來描述。例如，如果對于一個確定的直角坐標系A(chǔ)，空間內(nèi)任意一點P的位置都可用731列矢量AP描述，則稱AP為P位置矢量：xAyz   其中，xp、yp、zp是點P在坐標系中A的3個坐標分量。AP的上標A代表參考坐標系A(chǔ)。我們稱AP為位置矢量。

    （2）方位描述在空間中描述某個點的位置時，為了準確研究機器人的運動特性，在進行坐標系描述時，通常還需要描述物體的方位。一般用固定于物體上的坐標系來描述。我們通常選定與某剛體B固接的直接坐標系B來描述空間中剛體B的方位。用直角坐標系B的三個矢量Bx、By、Bz相對于參考坐標系的方向余弦組成的33矩陣來表示剛體B相對于坐標系A(chǔ)的方位：其中，ABR稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，上標A表示參考坐標系A(chǔ)，下標B代表被描述的直角坐標系B。每個矢量在參考系的中的投影分量稱為標量，用ijr表示。

    （3）位姿描述一般情況下，用剛體B與某一坐標系B的固接來完全描述剛體B在空間中的位姿。通常坐標系B的坐標原點與其特征點重合，例如質(zhì)心。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR和位置矢量ABoP來描述P點的空間位姿，為AABBoRP。則相應的齊次坐標變方程可由ABT來表示. 

    （4）末端執(zhí)行器坐標系描述選定一個參考坐標系A(chǔ)，規(guī)定坐標系與末端執(zhí)行器固聯(lián)來描述末端執(zhí)行器的位姿，稱為末端執(zhí)行器坐標系T。末端執(zhí)行器坐標系T的Z軸通常設(shè)在自己靠近物體的方向，稱為接近矢量a；末端執(zhí)行器兩端聯(lián)線方向即Y軸所在方向，稱為方向矢量o；X軸由右手法則確定：noa。ATRnoa因此末端執(zhí)行器的方向由旋轉(zhuǎn)矩陣式所規(guī)定，三個單位正交列矢量n、o、a描述了末端執(zhí)行器的位置和方位。而末端執(zhí)行器的位置由其坐標系T的原點所約束，8用位置矢量P來表示。由四個矢量noap來表示末端執(zhí)行器的空間位姿：

     齊次坐標變換不同坐標系中的描述不同。下面以點P為例闡述從一個坐標系到另一個坐標系描述之間的映射關(guān)系。（1）平移坐標變換設(shè)坐標系B與坐標系A(chǔ)有著相同方位，不同的坐標原點。若用位置矢量ABP描述坐標系B相對于坐標系A(chǔ)的位置，那么我們稱ABoP為坐標系B相對于坐標系A(chǔ)的平移矢量。若P點在坐標B中的位置為BP，則點P相對于坐標系A(chǔ)的位置矢量AP可由兩者相加得出：ABAB.  （2）旋轉(zhuǎn)坐標變換若坐標系B與坐標系A(chǔ)有著共同的坐標系原點，不同的方位。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述B相對于A的方位。同一點P在兩個不同的坐標系A(chǔ)和B中的表示方法AP和BP具有如下變換關(guān)系：BX9AP=ABRBP（3）復合坐標變換多數(shù)情況下，不同坐標系B與A的原點不會重合，方位也不會相同。如果我們用位置矢量ABoP表示坐標系B的原點相對于坐標系A(chǔ)的位置，用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR表示坐標系B相對于坐標系A(chǔ)的方位，那么對于任意一點P分別在坐標系A(chǔ)和坐標系B中的描述AP、BP具有以下關(guān)系  被叫做復合變換，實質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)坐標變換和平移坐標變換的復合變換。（4）齊次坐標變換已知笛卡爾直角坐標系中某點的坐標，該點在另一笛卡爾直角坐標系中的坐標可以由齊次坐標變換獲得。相對于BP是非齊次的，但可被轉(zhuǎn)換為齊次的變換形式：其中，我們用41的列向量描述了一個點的三維空間，叫做這個點的齊次坐標，用AP或BP表示�？梢园焉鲜降葍r為以下矩陣形式：AP=ABBTp 的AP、BP皆為41的列向量，與（2.8）式中的維數(shù)不等，增加了第四個元素。ABT綜合表示了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換。

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